Entropiedichte

  Vorangehende Seite Nächste Seite Für die Druckfunktion wird JavaScript benötigt!  

Die Entropiedichte s(T) der Hohlraumstrahlung ergibt sich, wenn die gefundene Lösung (5.20) für die Energiedichte in Gleichung (5.17) eingesetzt wird. Dabei erscheint die Entropie erwartungsgemäß als totales Differential:

0523

5.23

Nimmt man an, dass die Entropie für T=0 verschwindet, dann erhält man durch Integration von (5.23) und durch Rekursion auf die Energiedichte u(T) die Entropie S bzw. die Entropiedichte s:

0524

5.24

Ludwig Boltzmanns Ableitung der Energiedichte der Hohlraumstrahlung schließt also die Darstellung ihrer Entropie bzw. ihrer Entropiedichte aus der Integration eines totalen Differentials mit ein.

Eine Integration der spektralen Photonendichte, welche als Quotient aus spektraler Energiedichte (plancksches Strahlungsgesetz) und der Energie hν eines Photons der entsprechenden Frequenz entsteht, erbringt folgende Beziehung zwischen der Photonendichte Nπ(T) und der Temperatur T der Hohlraumwandung:

0525

5.25

Die thermodynamisch aus Gleichung (5.23) errechnete Entropiedichte s(T) der Hohlraumstrahlung weist also dieselbe Temperaturabhängigkeit auf wie ihre quantentheoretisch berechnete Photonendichte Nπ(T) aus Gleichung (5.25):

0526

5.26

Das Verhältnis kPla (Index Pla steht für „Planck“) zwischen Entropiedichte und Photonendichte ist demnach konstant und bezieht sich wie folgt direkt auf die boltzmannsche Konstante kB:

0527

5.27

Da sich hinter der Photonendichte der Hohlraumstrahlung voraussetzungsgemäß eine ganze Zahl verbergen muss, entsteht für die Entropie dieselbe Quantisierungsbedingung, die Max Planck für die Lichtmenge formuliert hatte und durch Gleichung (5.13) zusammengefasst wird:

0528

5.28

Da es physikalisch keinen Sinn macht, dass die Anzahl der Photonen das Ausmaß zweier unterschiedlicher Größen bestimmt, muss es sich bei Licht und Entropie um dieselbe Größe handeln. Damit tritt die Konstante kPla als eine Elementarmenge der Entropie der Hohlraumstrahlung auf, die mit dem Wert aus (5.27) sicherstellt, dass das thermische Potential der Hohlraumstrahlung wie bisher identisch mit der Thermodynamischen Temperatur bzw. der Gastemperatur ist. In diesem Sinne muss die Photonendichte Nπ nunmehr als Entropiequantendichte s aufgefasst werden.

Für den Fall, dass die Entropie S als Basisgröße mit eigener Dimension auftreten soll, muss die dann unabhängige Elementarmenge kPla der Entropie von der boltzmannschen Konstanten kB entkoppelt werden. Diese Entkopplung kann anlässlich der Konstruktion der thermischen Zustandsfunktion des Lichtgases vorgenommen werden.

Unabhängig davon kann die mittlere Energie επ, die ein Entropiequant aufgrund seines Impulses mit sich führt, aus dem Verhältnis von Gesamtenergiedichte u und Entropiequantendichte Nπ abgeleitet und auf die spezielle Elementarmenge kPla der Entropie zurückgeführt werden:

0529

5.29