Energiedichte

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Während Max Planck 1900 die Entropie der Hohlraumstrahlung in echter (von ihm eigentlich abgelehnter) boltzmannscher Manier berechnete, nämlich über die Verteilung der Energie auf eine endliche Zahl von Resonatoren („Geburtsstunde der Quantentheorie“), hatte Ludwig Boltzmann diese Entropie bereits 1884 in grandioser klassischer Manier aus einem Ansatz für die gibbssche Fundamentalform des Lichtgases abgeleitet („Perle der theoretischen Physik“), der die Volumenarbeit berücksichtigte, die durch den Lichtdruck auf eine variable Wandung (Kolben) zustandekommt.

Ausgangspunkt dieser Ableitung ist die Beziehung zwischen dem Strahlungsdruck p und der Energiedichte u(T) einer räumlich abgeschlossenen Strahlung [Sommerfeld 1977, 118], welche da lautet:

0514

5.14

Dadurch ergibt sich für die differentielle Volumenarbeit dW einer Hohlraumstrahlung, die sich bei der Temperatur T in einem evakuierten Zylinder mit Arbeitskolben befindet, folgender Ausdruck:

0515

5.15

Mit dem Ansatz U(T,V) = V· u(T) lautet die gibbssche Fundamentalform einer räumlich eingeschlossenen Strahlung, die Arbeit an einem peripheren Impulsreservoir verrichten kann:

0516

5.16

Da die Volumenarbeit peripher abgerechnet wird, muss sich das thermische Pensum T·dS – wie bereits beim Idealen Stoffgas – ebenfalls auf ein peripheres System beziehen. Für die Inventaränderung dS der Entropie lässt sich daraus nun folgender Ausdruck ableiten:

0517

5.17

Da Gleichung (5.17) sich auf die Entropie als totales Differential bezieht, kann nunmehr mit dem Satz von Schwarz (Gleichheit der gemischten zweiten partiellen Differentialquotienten einer Zustandsfunktion mehrerer Variabler) eine Differentialgleichung für die Energiedichte u(T) gewonnen werden:

0518

5.18

 

 

0519

5.19

Durch Integration von (5.19) und anschließende Übergabe der Summanden an die Umkehrfunktion des natürlichen Logarithmus erhält man die Energiedichte u:

0520

5.20

Die Integrationskonstante α wurde ursprünglich aus der experimentell bestimmbaren stefan-boltzmannschen Konstanten σ abgeleitet, da sich die direkt messbare Strahlungsleistung P=σ·A·T4 und die Energiedichte u=α·T4 genau um den konstanten Faktor 4/c unterscheiden.

Durch Integration der von Max Planck abgeleiteten spektralen Energiedichte der Hohlraumstrahlung über alle Frequenzen erhält man dieselbe Beziehung zwischen der Gesamtenergiedichte u(T) im Hohlraum und der Temperatur T, so dass sich der Koeffizient α aus (5.21) über einen Vergleich bestimmen lässt:

0521

5.21

Die für die Energiedichte gefundene Beziehung (5.20) kann nunmehr genutzt werden, um die Entropiedichte abzuleiten.